不進行公安備案刻章可能會產生以下后果：
- 面臨行政處罰：根據《印章刻制業治安管理辦法》，違反相關規定的，可能會被繳銷公章，并處以警告、500 元以上 1000 元以下罰款。
- 公章不具法律效力：盡管在某些非正式場合可能會被接受，但在銀行等正規場合不能使用。一旦出現糾紛，所簽訂的合同可能被認定為無效，需由私刻公章的一方承擔全部責任。
- 需承擔法律責任：情節嚴重的，可能構成偽造公司、企業、事業單位、人民團體印章罪，將被追究刑事責任。根據我國《刑法》第二百八十條規定，偽造公司、企業、事業單位、人民團體的印章的，處三年以下有期徒刑、拘役、管制或者剝奪政治權利。
為了避免上述后果，確保公章的合法性和安全性，單位或者個體工商戶應按照規定憑主管部門出具的證明或者工商行政管理部門核發的營業執照，向公安部門提出申請，經審批同意后到規定的期限內到經營公章刻制業務的單位刻制，并完成備案手續。
需要注意的是，具體的法律責任和處罰可能因地區和具體情況而有所不同。同時，公章的使用和管理應遵循相關法律法規和單位的內部規定，以確保其合法、安全、有效地使用。
